Home / Kuliah
Showing posts with label Kuliah. Show all posts
Showing posts with label Kuliah. Show all posts

Wednesday, August 28, 2019

Nilai Mutlak dan Selang Interval Dalam Sistem Bilangan Real

Nilai Mutlak dan Selang Interval Dalam Sistem Bilangan Real

Nilai Mutlak dan Selang Interval dalam sistem bilangan real - Pada Bab ini memuat materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus, beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review di masa SMA, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru, dan akan sedikit memberikan konsep yang lebih mendalam kepada para pembaca. Nah pada artikel kali ini saya akan menekankan pembahasan mengenai Nilai Mutlak dan Selang Interval.

Materi Yang Dipelajari dalam Sistem Bilangan Real

1.1. Penjelasan Sistem Bilangan Real
1.2. Sifat Sifat Sistem Bilangan Real
1.3. Relasi Urutan
1.4. Garis Bilangan
1.5. Pertidaksamaan
1.6. Nilai Mutlak (Absolute Value)
1.7. Selang (Interval)

1.6 Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebu: dari bilangan 0. Jadi, mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak -7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi 1.1.6 Nilai mutlak x ∈ R, ditulis dengan notasi |x|, didefinisikan sebagai:
Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebu: dari bilangan 0. Jadi, mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak -7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi Nilai Mutlak

Definisi 1.1.6 Nilai mutlak x ∈ R, ditulis dengan notasi |x|, didefinisikan sebagai:
|x| = √x2

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
|x| = {x, jk x ≥ 0 -x, jk x < 0 atau

NB : Untuk menghindari kesalahan dalam mengerjakan Soal Nilai Mutlak akan lebih baik menggunakaan definisi dalam pengerjaan soal.

|x| = {x, jk x ≥ 0 -x, jk x < 0 atau

Saya akan memberi contoh pengerjaan yang hanya bisa dikerjakan dengan definisi mutlak. untuk itu tunggu saja, dan maaf karena tidak bisa segera karena kesibukan saya di dunia nyata sebagai seorang mahasiswa.

Jika kalian ingin menanyakan sesuatu bisa kalian komentar atau melalui contact form blog atau email saya. Jika tidak sibuk saya akan baca dan mengerjakan soal yang kalian berikan terimakasih. Kami bekerja menjadi tim.

Sebagai contoh, |-8| = -(-8) = 8, |5/2|=5/2,|3|=3 dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

|3x| = 5 ó3x = 5 atau 3x = -5
óx = 5/3 ∨ x = -5/3
Secara sama,
|2x - 3| = 7 berarti 2x - 3 = 7 atau 2x - 3 = -7
ó 2x = 10 atau 2x = -4
ó x = 5 atau x = -2

Sifat Sifat Nilai Mutlak 1.1.9 Jika a ≥ 0, maka:

(a) |x| ≤ a ó -a ≤ x ≤ a
(b) |x| ≥ a ó x ≤ -a atau x ≥ a.

Contoh Soal Nilai Mutlak 1.1.10 Selesaikan 2x - 3 ≥ 7.
Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:
|2x-3| ≥ 27 ó (2x - 3) ≤ 7 atau (2x - 3) ≥ 7
ó 2x ≤ -4 atau 2x ≥ 10
ó x ≤ -2 atau x ≥ 5
Jadi, penyelesaian adalah {x ∈ R|x ≤ -2 atau x ≥ 5}

Contoh Soal Nilai Mutlak 1.1.11 Tentukan semua nilai x sehingga |2x/(x - 2)| ≤ 3
Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:
|2x/(x - 2)| ≤ 3ó -3 ≤ 2x/(x - 2) ≤ 3
ó 2x/(x - 2) ≥ -3 dan  2x/(x - 2) ≤ 3

Selanjutnya, kita kaan menyelesaikan keduanya tersebut dengan cara pertidaksamaan.
- Untuk 2x/(x-2) ≥ -3
ó 2x/(x-2) + 3 ≥ 0
ó 2x/(x - 2) + (3x - 6)/(x - 2) ≥ 0
ó (5x - 6)/(x - 2) ≥ 0

untuk (5x - 6) => x ≥ 6/5 atau x ≤ 6/5
untuk (x - 2) => x > 2 atau x < 2 Karena x ≠ 2
Menggunkaan tabel
Tanda Nilai
5x - 6
x - 2
(5x - 6)/(x - 2)
x > 2
+
+
+
Pertidaksamaan Memenuhi
6/5 ≤ x < 2
+
-
-
Pertidaksamaan Tidak Memenuhi
x ≤ 6/5
-
-
+
Pertidaksamaan Memenuhi
2
4
0
Tidak Memenuhi
Pertidaksamaan Tidak Memenuhi
6/5
0
4/5
0
Pertidaksamaan Memenuhi
Hp1 = {x ∈ R|x > 2 atau x ≤ 6/5}

- Untuk 2x/(x-2) ≤ 3
ó 2x/(x-2) - 3 ≤ 0
ó 2x/(x - 2) - (3x - 6)/(x - 2) ≤ 0
ó (-x + 6)/(x - 2) ≤ 0

untuk (-x + 6) => x ≥ 6 atau x ≤ 6
untuk (x - 2) => x > 2 atau x < 2 Karena x ≠ 2
Menggunkaan tabel
Tanda Nilai
-x + 6
x - 2
(-x + 6)/(x - 2)
x ≥ 6
-
+
-
Pertidaksamaan Memenuhi
2 < x ≤ 6
+
+
+
Pertidaksamaan Tidak Memenuhi
x < 2
+
-
-
Pertidaksamaan Memenuhi
2
4
0
Tidak Memenuhi
Pertidaksamaan Tidak Memenuhi
6
0
4
0
Pertidaksamaan Memenuhi
Hp2 = {x ∈ R|x < 2 atau x ≥ 6}
Hp1 dan Hp2 = {x ∈ R|x < 6/5 atau x ≥ 6}

Sifat Sifat Nilai Mutlak 1.1.7 Jika x,y ∈ R maka:

a. |x| ≥ 0 |x| = 0  x = 0
b. |x.y| = |x|.|y| |x/y| = |x/y|, asal y ≠ 0
c. ||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (ketaksamaan segitiga)
||x| - |y|| ≤ |x - y| ≤ |x| + |y|

Secara geometris, nilai mutlak |x - a| dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika
|x - 3| = 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebe lah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).

Jadi, penyelesaian|x - 3| = 7 adalah {-4,10}

Dengan mengingat Sifat 1.1.7 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 1.1.8 Jika a ≥ 0,maka: |x| = a ó x = a atau x = -a

Sebagai contoh,
|x| = 4 berarti x = 4 atau x = -4

Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan |x - 4| > x - 2
Penyelesaian:
(i). Apabila x - 2 < 0. maka selalu berlaku |x - 4| > x -2 untuk setiap x. Sehingga diperoleh: x < 2
(ii). Jika x - 2 ≥ 0 maka:
|x - 4| > x - 2
ó {(x - 4) < -(x - 2) atau (x - 4) > (x -2)}, x ≥ 2
ó 2x< 6, x≥2
ó 2≤x<3

Dari (i) dan (ii), diperoleh x < 3

Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan |x - 4| > x - 2
Atau penyelesaian dengan cara definisi Dari soal Contoh 1.1.12 ini |x - 4| > x - 2
|x - 4| {(x - 4), jk x ≥ 4 ATAU (-x + 4), jk x < 4
(a) Untuk x ≥ 0, Maka
x - 4 > x - 2
-2 > 0 (Tidak Memenuhi)

(b) Untuk x < 4
-x + 4 > x - 2
-2x > -6
x < 3

Maka Penyelesaian (a) dan (b) diperoleh Hp = {x ∈ R|x <3}

1.7 Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b. Berturut-turut didefinisikan:
[a, b]={ x| a ≤ x ≤ b} ,
[a, b)={x| a ≤ x < b},
[a, ∞)={x| x ≥ a}
(-∞, a]={x| x ≤ a}
(a, b)={x| a < x < b} ,
(a, b]={x| a < x ≤ b} ,
(a, ∞)={x| x > a} ,
(-∞, a)={x| x < a} ,

Demikian penjelasan mengenai Nilai Mutlak dan Selang Interval semoga dengan materi yang kami berikan dapat membantu pengerjaan soal kalian. Saya sarankan dalam mengunakan sifat sifat nilai mutlak kita harus terlebih dahulu tahu keduanya harus positif, jika terjadi negatif maka sifat tidak dapat digunakan. Maka dari itu saya saranakan dalam pengerjaan soal menggunakan Definisi Mutlak. Itu saja Semoga dapat membantu kalian dan semoga sukses.
Pada Komentar

Tuesday, August 27, 2019

Sistem bilangan Real : Garis Bilangan dan Pertidaksamaan

Sistem bilangan Real : Garis Bilangan dan Pertidaksamaan

Sistem bilangan Real : Garis Bilangan dan Pertidaksamaan - Pada Bab ini memuat materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus, beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review di masa SMA, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru, dan akan sedikit memberikan konsep yang lebih mendalam kepada para pembaca.

Materi Yang Dipelajari dalam Sistem Bilangan Real

1.1. Penjelasan Sistem Bilangan Real
1.2. Sifat Sifat Sistem Bilangan Real
1.3. Relasi Urutan
1.4. Garis Bilangan
1.5. Pertidaksamaan
1.6. Nilai Mutlak (Absolute Value)
1.7. Selang (Interval)

1.4 Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O, sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, .... dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan -1,-2,-3,... dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan ½, -2/3, √2 dst. Perhatikan Gambar dibawah ini.
Sistem bilangan Real : Garis Bilangan dan Pertidaksamaan

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

1.5 Pertidaksamaan

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real. Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥).
Contoh Soal
a. 2x – 7 ≤ x + 1
b. ( (2x-1)/(x+3) ) > 1
c. x2 + y2 ≤ 9
d. x2 – x – 12 < 0 

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.

Contob 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 5 < 5x + 7

Penyelesalan:
ó2x – 5 < 5x + 7
ó2x – 5 – 5x + 5 < 5x + 7 – 5x + 5
ó -3x < 12
ó -3x(-1/3) > 12.(-1/3)
ó x > -4

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah {x ∈ R| x > -4}

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan- pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut:

Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x – 5x + 6 > 0.

Penyelesaian: Dengan memfaktorkan nuas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:
(x – 2)(x – 3) > 0
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i) Jika ke dua faktor positif maka:
x – 2 > 0 dan x – 3 > 0
óx > 2 dan x > 3
Sehingga diperoleh: x > 3

(ii) Jika ke dua faktor negatif, maka:
x – 2 < 0 dan x – 3 < 0
ó x < 2 dan x < 3
Diperoleh: x < 2

Jadi, penyelesaian adalah {x ∈ R| x < 2 atau x > 3}

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: ruas kiri pertidaksamaan bermilai nol jika x = 2 atau x = 3 . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian:  x < 2, 2 < x < 3, dan x > 3(Gambar 1.1.4).
Sistem bilangan Real : Garis Bilangan dan Pertidaksamaan

Pada bagian x < 2, nilai (x – 2) dan (x – 3) keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 2 < x < 3, (x – 2)bernilai positif sedangkan (x – 3) bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian x > 3, (x – 2) dan (x – 3) masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel 1.1.1 di bawah ini.
Tanda Nilai
Kesimpulan
(x – 2)
(x – 3)
(x – 2) (x – 3)
x < 2
-
-
+
Pertidaksamaan Dipenuhi
2 < x < 3
+
-
-
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
x > 3
+
+
+
Pertidaksamaan Dipenuhi
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah {x ∈ R| x < 2 atau x > 3}

Metode penyelesaian seperti pada Contoh 1.1.3 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian x3 – 2x2 – x + 1 ≤ -1

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambahi 1, maka diperoleh:
x3 – 2x2 – x + 2 ≤ 0
ó(x - 1)(x + 1)(x – 2) ≤ 0

Jika (x – 1)(x + 1)(x – 2) = 0maka diperoleh: x = -1, x = 1, atau x = 2. Selanjutnya, perhatikan table
Berikut :
Tanda Nilai
Kesimpulan
(x + 1)
(x - 1)
(x – 2)
(x – 1)(x + 1)(x – 2)
x < -1
-
-
-
-
Pertidaksamaan Dipenuhi
-1 < x < 1
+
-
-
+
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
1 < x < 2
+
+
-
-
Pertidaksamaan Dipenuhi
x > 2
+
+
+
+
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
x = -1
0
-2
-3
0
Pertidaksamaan Dipenuhi
x = 1
2
0
-1
0
Pertidaksamaan Dipenuhi
x = 2
3
1
0
0
Pertidaksamaan Dipenuhi
Jadi, penyelesaian adalah x ∈ R| x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ 2}}

Contoh Selesaikan ( (2x + 6)/(x – 2) ) ≤ x + 1

Penyelesaian: Apabila pada ke dua ruas ditambahkan –(x + 1) maka diperoleh:
( (2x + 6)/(x – 2) )  - x + 1 ≤ 0
ó( (2x + 8 – x2 + x + 2)/(x – 2) ) ≤ 0
ó ( (x2 – 3x – 10)/(x – 2) ) ≥ 0
ó ( (x – 5)(x + 2)/(x – 2) ) ≥ 0

Nilai nol pembilang adalah -2 dan 5, sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga ( (x – 5)(x + 2)/(x – 2) ) ≥ 0 diperhatikan tabel berikut:
Tanda Nilai
Kesimpulan
(x – 5)
(x + 2)
(x – 2)
( (x – 5)(x + 2)/(x – 2) ) ≥ 0
x < -2
-
-
-
-
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
-2  < x < 2
+
-
-
+
Pertidaksamaan Dipenuhi
2 < x < 5
+
+
-
-
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
x > 5
+
+
+
+
Pertidaksamaan Dipenuhi
x = - 2
0
-4
-7
0
Pertidaksamaan Dipenuhi
x = 2
4
0
-3
Tidak Terdefinisi
Pertidaksamaan Tidak Dipenuhi
x = 5
7
3
0
0
Pertidaksamaan Dipenuhi
Jadi, penyelesaian adalah {x ∈ R| x ≥ 5 atau -2 ≤ x < 2}}

Itu saja yang dapat saya jelaskan mengenai Sistem Bilangan Real Sub Bab Garis Bilangan dan Pertidaksamaan. Semoga dengan adanya materi yang kami ajarkan dapat membantu sobat untuk lebih mengerti konsep konsep dalam mempelajari kalkulus ini. Jika kurang paham bisa kalian tanyakan di kolom komentar.
Pada Komentar