Contoh Soal Cara Menentukan Titik Stasioner dan Jenis-Jenisnya

Contoh Soal Cara Menentukan Titik Stasioner dan Jenis-Jenisnya

Matematika Titik Stasioner Turunan

Pada kesempatan kali ini kita omahjenius akan berbagi mengenai Soal dan Pembahasan Menentukan Titik Stasioner. Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a  dengan f'(a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a.

 

Untuk itu simak terus pembahasan dari kami, semoga membantu kalian belajar. SEMANGATT!!!

3 Jenis Nilai Stasioner

Terdapat 3 jenis nilai stasioner, yaitu:
1. Nilai Balik Maksimum
2. Nilai Balik Minimum
3. Titik Belok

Contoh Soal & Pembahasan Titik Stasioner

Soal 1
Jika x₁ dan x₂  merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0.
Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1
Pembahasan:
x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
      = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
      = (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
      = (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3
(JAWABAN:  B)

Soal 2
Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
Pembahasan:
y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' =  12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2

Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.
(JAWABAN: A)

Soal 3
Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah .....
A. (-2,3)
B. (-2,7)
C. (-2,5)
D. (2,5)
E. (2,10)
Pembahasan:
y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok <=> y" = 0
6x + 12 = 0
<=> 6x = -12
<=> x = -12/6
<=> x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) + 7
   = -8 + 24 - 18 + 7
   = 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah (-2,5)
(JAWABAN: C)

Soal 4
y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2  dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan  -77
Pembahasan:
y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4  atau x = -2

Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.
(JAWABAN: D)

Soal 5
Sebuah titik materi dengan persamaan s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t (t = waktu, s = kedudukan). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t = .....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t
v(t) = s'(t)
v(t) = -t² + 6t - 5
v(t) maksimum untuk t = -b/2a = -6/-2 = 3.
(JAWABAN: C)

Soal 6

Sebuah pintu berbentuk seperti tergambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama  dengan .....
A. pπ
B. p - π4
C. p4+π
D. p4 + π
E. p4π



Pembahasan:
Keliling = 2x + 2y + πx = p
<=>  2y = p - 2x - πx
Luas = 2xy + ½ πx²
         = x(p - 2x - πx) + ½ πx²
         = px - 2x² - πx² + ½ πx²
         = px - 2x² - ½ πx²
Syarat Luas maksimum, L' = 0
L' = p - 4x - πx = 0
<=> p - (4 + π)x = 0
<=> x = −p−(4+π)
<=> x = p4+π
(JAWABAN: C)

Soal 7
Selisih dua bilangan adalah 4p. Nilai terkecil dari hasil perkalian kedua bilangan itu adalah .....
A. 6p²
B. 4p²
C. -2p²
D. -4p²
E. -5p²
Pembahasan:
Misalkan bilangan itu adalah x dan y, maka:
y - x = 4p atau y = 4p + x
K = xy = x(4p + x) = 4px + x²
dkdx = 0
4p + 2x = 0
<=> 2x = -4p
<=> x = -2p
Kmin = -2p(4p + (-2p))
          = -2p(2p)
          = -4p²
(JAWABAN: D)

 

Itu saja mengenai contoh soal cara memnentukan titik stasioner beserta jenis jenisnya. Jangan lupa selalu belajar. SEMANGATTT

Titik Stasioner || Soal dan Pembahasan Menentukan Titik Stasioner || Jenis-jenis Nilai Stasioner || Titik Belok

Ditulis zedukasi Pada November 25, 2021 Komentar

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Tersulit

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Tersulit

Matematika Trigonometri Turunan

Halo gaes, kembali lagi dengan latihan soal ala omahjenius. Pada kesempatan kali ini saya berkesempatan untuk share contoh soal turunan fungsi trigonometri. Menurut saya pribadi ini merupakan salah satu contoh soal mengerikan, ada beberapa hal yang bisa menyebabkan Soal Turunan Fungsi Trigonometri itu mengerikan, untuk itu semangat belajarnya, karena semua akan kena libas pada waktunya.

 

Rumus Fungsi Trigonometri

 Pada dasarnya rumus trigonometri sumbernya pada rumus berikut ini :

1. Jika f(x) =  sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = -sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec²x

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri

Soal 1
Turunan pertama fungsi y = cos (2x³ - x²) ialah.....
A. y' = -(6x² - 2x) sin (2x³ - x²)
B. y' = -sin (2x³ - x²)
C. y' = (6x² - 2x) cos (2x³ - x²)
D. y' = (6x² - 2x) sin (2x³ - x²)
E. y' = sin (2x³ - x²)
Pembahasan:
y = cos (2x³ - x²)
Misalkan:
u(x) = 2x³ - x² maka u'(x) = 6x² - 2x
y = cos u(x)
y' = -sin u(x) . u'(x)
y' = -sin (2x³ - x²) . (6x² - 2x)
y' = -(6x² - 2x).sin(2x³ - x²)
(JAWABAN: A)

Soal 2
Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx = .....
A. 2x sin 3x + 2x² cos x
B. 3x cos 3x + 2x² sin x
C. 2x  sin x + 3x² cos x
D. 2x sin 3x + 3x² cos 3x
E. 2x² cos x + 3x sin 3x
Pembahasan:
y = x² sin 3x
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka  v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y' = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
    = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
    = 2x sin 3x + 3x²cos 3x
(JAWABAN: D)

Soal 3
Diketahui fungsi F(x) = sin²(2x + 3) dan turunan pertama dari F adalah F'. Maka F'(x) =.....
A. -2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
B. 4 sin (2x  + 3) cos (2x + 3)
C. 2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
D. -4 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
E. sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
Pembahasan:
F(x) = sin²(2x + 3)
Misalkan:
u(x) = sin (2x + 3), maka:
u'(x) = cos (2x + 3) . 2
        = 2cos (2x + 3)
(2 berasal dari turunan (2x + 3))
F(x) = [u(x)]²
F'(x) = 2[u(x)]¹ . u'(x)
        = 2sin (2x + 3) . 2cos (2x + 3)
        = 4sin (2x +  3) cos (2x + 3)
(JAWABAN: B)

Soal 4
Diketahui f(x) = sin³ (3 - 2x). Turunan pertama fungsi f  adalah f' maka f'(x) = .....
A. 6 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
B. -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)
C. -2 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
D. -6 sin (3 - 2x) cos (6 - 4x)
E.  3 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
Pembahasan:
f(x) = sin³ (3 - 2x)
Misalkan:
u(x) = sin (3 - 2x), maka:
u'(x) = cos (3 -  2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 -  2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 - 2x) . -2cos (3 - 2x)
       = -6 sin²(3 - 2x) . cos (3 - 2x)
       = -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 - 2x)
       = -3 . sin (3 - 2x). 2 sin (3 - 2x).cos (3 - 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
       = -3 sin (3 - 2x) sin 2(3 - 2x)
       = -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)
(JAWABAN: B)

Soal 5
Turunan pertama dari F(x) = sin³ (5 - 4x) adalah F'(x) = .....
A. 12 sin² (5 - 4x) cos (5 - 4x)
B. -6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
C. -3 sin² (5 - 4x) cos (5 - 4x)
D. 6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
E. -12 sin² (5 - 4x) cos (10 - 8x)
Pembahasan:
F(x) = sin³ (5 - 4x)
Misalkan:
u(x) = sin (5 - 4x), maka:
u'(x) = cos (5 - 4x) . (-4)
u'(x) = -4cos (5 - 4x)
(-4 berasal dari turunan (5 - 4x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(5 - 4x) . -4cos (5 - 4x)
       = -12 sin²(5 - 4x) . cos (5 - 4x)
       = -6 . 2 sin (5 - 4x).sin (5 - 4x).cos (5 - 4x)
       = -6 . sin (5 - 4x). 2 sin (5 - 4x).cos (5 - 4x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
       = -6 sin (5 - 4x)) sin 2(5 - 4x)
       = -6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
(JAWABAN: A)

Soal 6
Jika f(x) = sinx+cosxsinx,  sin x ≠ 0 dan f' adalah turunan f, maka f'(π2) = .....
A. -2
B. 1
C. 0
D. -1
E. 2
Pembahasan:
f(x) = sinx+cosxsinx
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
   u'(x) = cos x - sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = u(x)v(x)
f'(x) = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2
       = (cosx−sinx).(sinx)−(sinx+cosx).(cosx)[sinx]2
f'(π2) = (cosπ2−sinπ2).(sinπ2)−(sinπ2+cosπ2).(cosπ2)[sinπ2]2
f'(π2) = (0−1).(1)−(1+0).(0)(1)2
f'(π2) = −1−01
f'(π2) = -1
(JAWABAN:  D)

Soal 7
Turunan fungsi y = tan x adalah.....
A. cotan x
B. cos² x
C. sec² x + 1
D. cotan² x + 1
E. tan²x + 1
Pembahasan:
y = tan x
y = sinxcosx
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x

y = u(x)v(x)
y = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2
   = cosx.cosx−sinx.(−sinx)[cosx]2
   = cos2x+sin2xcos2x
   = sin2x+cos2xcos2x
   = sin2xcos2x + cos2xcos2x

   = (sinxcosx)2 + 1

   = tan²x + 1
(JAWABAN: E)

Soal 8
Jika f(x) =  a tan x + bx dan f'(π4) = 3, f'(π3) = 9, maka (a + b) = .....
A. 2
B. 1
C. π2
D. 0
E. π
Pembahasan:
f(x) =  a tan x + bx
f'(x) = a . 1cos2x + b
f'(π4) = a . 1cos2π4 + b
<=> 3 = a . 1((√2)/2)2 + b
<=> 3 = 2a + b ............(1)
f'(π3) = a . 1cos2π3 + b
<=> 9 = a . 1(½)2 + b
<=> 9 = 4a + b..............(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2a + b = 3
4a + b = 9  -
<=> -2a = -6
<=> a = -6/-2
<=> a = 3
Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:
2(3) + b = 3
6 + b = 3
      b = 3 - 6
      b = -3
Jadi, a + b = 3 + (-3) = 0
(JAWABAN: D)

Soal  9
Jika r = sinθ−−−−√, maka dr/dθ = .....

A. 12sinθ√

B. cosθ2sinθ
C. cosθ2sinθ√
D. −sinθ2cosθ
E.  2cosθsinθ√

Pembahasan:
Misalkan:
u = sin θ, maka u' = cos θ
r = sinθ−−−−√
r = u−−√
r = (u)½
r' = 12√u . u'
r' = 12sinθ√ . cos θ
r' = cosθ2sinθ√
(JAWABAN: C)

Soal 10
Jika f(x) = -(cos² x - sin²x), maka f'(x) adalah.....
A. 4sin x cos x
B. 2(cos x -  sin x)
C. sin x. cos x
D. 2sin x cos x
E. 2(sin x - cos x)
Pembahasan:
f(x) = -(cos² x - sin²x)
f(x) = -((1 - sin²x) - sin²x)
f(x) = -(1 - 2sin²x)
f(x) = 2sin²x - 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² - 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) - 0
f'(x) = 4 sin x  cos x
(JAWABAN: A)

 

Itu saja contoh soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri. Mudah mudahan dengan latihan soal yang kami berikan dapat memudahkan kalian untuk mengerjakan soal soal yang diberikan kpada guru kalian. SEMANGAATTT.

Ditulis zedukasi Pada November 20, 2021 Komentar