Thursday, August 22, 2019

Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real

Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real

Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real
Thursday, August 22, 2019
Sistem Bilangan Real - Pada Bab ini memuat materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus, beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review di masa SMA, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru, dan akan sedikit memberikan konsep yang lebih mendalam kepada para pembaca.

Materi Yang Dipelajari dalam Sistem Bilangan Real

1.3. Relasi Urutan
1.4. Garis Bilangan
1.5. Pertidaksamaan
1.6. Nilai Mutlak (Absolute Value)
1.7. Selang (Interval)

1.1.  Penjelasan Sistem Bilangan Real

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur unsur dalam kehidupan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi  atau {}.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan  S dan dibaca "a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan  S dan dibaca "a bukan elemen S".

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggolanya. Sebagai contoh, himpunan d yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai :

A=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggolaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

A ={ x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis  B, jika setiap anggota merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa  ⊂ A untuk sebarang himpunan A.
Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpuran bilangan yang dipandang cukup penting.

Himpunan semua bilangan asli adalah N={1,2,3, ...} Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya x + y  N dan x.y  N untuk setiap x,y  N. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilargan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

Z = { ...,-3,-2-1,0,1,2,3,... }

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q.

Q = {a/b : a ∈ z dan b ∈ N}
b tidak boleh sama dengan 0 (nol) b ≠ 0.

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah √2 dan Bilangan √2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1.1)
Sedangkan bilangan π merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diametenya (gambar 1.1.2)
Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real
Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real scringkali digunakan cara desimal.

Sebagai contoh, bilangan-bilangan ¾, 5/3, 7/66 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai (0,75) (1,666...) dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut
i. Berhenti ¾, 5/3, 7/66, dst atau
ii. berulang beraturan 5/3, 7/66, dst

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut  adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

√2 = 1,414213
π = 3,14159....

1.2 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real a, b, c, dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komulatif

(i) a + b = b + a

2. Sifat asosiatif

(i) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
(ii) a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c

3. Sifat distibutif

(i) a.(b + c) = (a.b) + (a.c)

4. (i)  a/b = a(1/b), b ≠ 0
(ii) a/b + c/d = ( (c.d) + (b.c) )/(b.d), b ≠ 0, d ≠ 0
(iii) a/b . c/d = (a.c)/(b.d), b ≠ 0, d ≠ 0

5. (i) a.(-b) = (-a).b = -(a.b)
 (ii) (-a).(-b) = ab
(iii) –(-a) = a

6. (i) 0/a untuk setiap bilangan a ≠ 0.
(ii) a/0 Tak terdefinisi
(iii) a/a = 1, Untuk setiap bilangan a ≠ 0

7. Hukum kanselasi

(i). Jika a.c = b.c dan c ≠ 0 maka a = b.
(ii). Jika b,c ≠ 0 maka ( (a.c)/(b.c) ) = a/b

8.Sifat pembagi nol


Jika a.b = 0  maka a = 0 atau b = 0

1.3 Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak kosong yang saling asing:
(i). Himpunan semua bilangan real positif;
(ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota; dan
(iii). Himpunan semua bilangan real negative

Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis a <b) jika b - a positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis a> b) jika b<a. Sebagai contoh, 2<5 dan 3> -1. Mudah ditunjukkan bahwa:
a. Bilangan a positif jika dan hanya jika a>0.
b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika a <0.

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis a≤b. Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis a ≥ b. Sedangkan a < b < c dimaksudkan sebagai a < b dan b < c. Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:
1. Jika a ≤ b  maka a + c ≤ b + c untuk setiap bilangan real c

2. Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c.

3. a. Jika a ≤ b dan c > 0 maka a.c ≤ b.c
b. Jika a ≤ b dan c <0  maka a.c ≥ b.c

4. Jika a > 0 maka ¼ > 0.
b.Jika 0 < a ≤ b maka 1/b ≤ 1/a

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:
a < b, a = b atau a > b

6. Jika a,b ≥ 0 maka a ≤ b ó a2 < b2 ó √a ≤ √b

Itu saja yang dapat saya jelaskan mengenai penjelasan, dan sifat bilangan real dan relasi urutan pada sistem bilangan real. Semoga dengan adanya materi dapat membantu sobat untuk lebih mengerti konsep konsep yang di pelajari di kalkulus ini. Jika kurang paham bisa kalian tanyakan di kolom komentar.
Penjelasan, Relasi, dan Sifat Sistem Bilangan Real
4/ 5
Oleh


EmoticonEmoticon