[Pembahasan] Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika

[Pembahasan] Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika

Aritmatika Barisan dan Deret Matematika

Omahjenius kali ini kan share tentang soal soal serta pembahasan cara menentukan rumus suku ke-n barisan dan deret aritmatika. Sebetulnya sama aja dengan penggunaan rumus barisan dan deret aritmatika, yang membedakan dari soal sebelumnya disini bagaimana kita menentukan kita mendapatkan angka angaka pada soal. Jawabannya bukan angka berikutnya atau yang dicari tapi menentukan rumus yang tepat. Untuk itu jangan lupa simak dan perhatikan setiap pembahasan yang diberikan. SEMANGATT !!!!

Contoh Soal dan Pembahasan Menentukan Rumus Suku ke-n
Soal 1
Suku ke-n dari barisan 5, 9, 13, 17, ......
A. n + 4
B. 4n + 1
C. 2n + 1
D. 2n² + 1
Pembahasan:
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Beda (b) = 9 - 5 = 4
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n

Penyelesaian:
Un = a + (n - 1)b
     = 5 + (n - 1)4
     = 5 + 4n - 4
     = 4n + 1
(Jawaban: B)

Soal 2 (UAN 2002)
Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama deret tersebut adalah .....
A. Sn = (n/2)(3n - 7)
B. Sn = (n/2)(3n - 5)
C. Sn = (n/2)(3n - 4)
D. Sn = (n/2)(3n - 3)
E. Sn = (n/2)(3n - 2)
Pembahasan:
Un = 3n - 5
Suku pertama (a):
a = U₁ = 3(1) - 5
   = 3 - 5
   = -2

Rumus jumlah n suku yang pertama (Sn):
Sn = (n/2)(a + Un)
Sn = (n/2)(-2 + (3n - 5))
Sn = (n/2)(3n - 7)
(Jawaban: A)

Soal 3
Suku keempat dan kesepuluh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 21 dan 51. Rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah .....
Pembahasan:
Diketahui:
Suku keempat (U₄) = 21
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n.

Penyelesaian:
Un = a + (n -1)b
Suku keempat (U₄) = 21
a + (4 - 1).b = 21
a + 3b = 21 ........(1)

Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
a + (10 - 1)b = 51
a + 9b = 51 .........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
a + 3b = 21
a + 9b = 51 -
    -6b = -30
       b = -30/-6
       b = 5
Subtitusi nilai b = 5 ke persamaan (1), diperoleh:
a + 3b = 21
a + 3(5) = 21
a +15 = 21
a = 21 - 15
a = 6

Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1)b
Un = 6 + (n - 1)5
Un = 6 + 5n - 5
Un = 5n + 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 5n + 1

Soal 4 (PROYEK PERINTIS 1983)
Jumlah n suku  yang pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n2(3n - 17). Rumus untuk suku ke-n deret ini adalah .....
A. 3n - 8
B. 3n - 10
C. 3n - 6
D. 3n - 4
E. 3n - 2
Pembahasan:
Sn = n/2(3n - 17)
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1/2)(3(1) - 17)
a = (1/2)(-14)
a = -7

Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = n2 (a + Un)
n2(3n - 17) = n2 (a + Un)
<=> 3n - 17 = a + Un
<=> a + Un = 3n - 17
<=> -7 + Un = 3n -17
<=> Un = 3n - 17 + 7
<=> Un = 3n - 10
(Jawaban: B)

Soal 5
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut adalah.....
Pembahasan:
Sn = n² + 3n
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1)² + 3(1)
a = 1 + 3
a = 4

Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = n2 (a + Un)
n² + 3n = n2 (a + Un)
<=> n(n + 3) = n2 (4 + Un)
<=> n + 3 = 12 (4 + Un)
<=> 2(n + 3) = 4 + Un
<=> 2n + 6 = 4 + Un
<=> 4 + Un = 2n + 6
<=> Un = 2n + 6 - 4
<=> Un = 2n + 2

Soal 6 (UAN 2002 IPA P4)
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmatika adalah 12 dan suku kesepuluh adalah -24. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn = .....
A. 18n - 3n²
B. 33n - 3n²
C. 27n - 3n²
D. 30n - 3n²
E. 66n - 3n²
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₇ = a + 6b

Suku ketiga + suku ketujuh = 12
(a + 2b) + (a + 6b) = 12
2a + 8b = 12
a + 4b = 6 .................(1)

Suku kesepuluh = -24
a + (10 - 1) = -24
a + 9b = -24 .............(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2),diperoleh:
a + 4b = 6
a + 9b = -24  -
-5b = 30
b = 30/-5
b = -6
Subtitusi nilai b = -6 ke persamaan (1)
a + 4b = 6
a + 4(-6) = 6
a - 24 = 6
a = 6 + 24
a = 30

Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = n/2(2a + (n - 1)b)
Sn = n/2(2(30) + (n - 1)(-6))
Sn = n/2(60 - 6n + 6)
Sn = n/2(66 - 6n)
Sn = n(33 - 3n)
Sn = 33n - 3n²
(Jawaban: B)

Soal 7 (UMPTN 1990)
Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan ......
A. n(n - 1)
B. n(n−1)2
C. n(n + 1)
D. n(n+1)2
E. n²
Pembahasan:
Bilangan bulat positif = 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Suku pertama (a) = 1
Beda tiap suku (b) = 1

Jumlah bilangan bulat positif pertama (Sn):
Sn = n2(2a + (n - 1)b)
Sn = n2(2.1 + (n - 1)1)
Sn = n2(2 + n - 1)
Sn = n2(n + 1)
Sn = n(n+1)2
(Jawaban: D)

Itu saja yang dapat saya tentang Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika dengan pembahasannya. Semoga dengan ini dapat membantu temen temen belajar. Semangatt!!!!!

Ditulis zedukasi Pada November 17, 2021 Komentar

MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

Aritmatika Barisan Barisan dan Deret Deter Matematika Materi Lengkap

Pada Kesempatan ini, akan membahas tentang "MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)". Barisan dan deret aritmatika biasa disebut juga dengan deret hitung. Apa itu barisan aritmatika?? Simak penjelasan berikut.

1. Barisan Aritmatika
Suatu barisan U₁ , U₂ , U₃ ,..., U_n disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi, b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = U_n - U_n-1 

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:

U₁  = a

U₂  = U₁ + b = a + b

U₃  = U₂ + b = a + 2b

U₄  = U₃ + b = a + 3b

...

U_n = U_n-1 + b = a + (n - 1)b

Bentuk U_n = a + (n - 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmatika.

Contoh Soal.
Diketahui suatu barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku ke 48
Pembahasan:
Barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
a. Suku pertama (a) = -7
b. Beda (b) =  U₂ - U₁
                   = -2 -(-7)
                   = -2 + 7
                   = 5
c. Suku ke 48
    Un = a + (n - 1)b
    U₄₈ = a + (48 - 1)b
          = -7 + (48 - 1).5
          = -7 + (47).5
          = -7 + 235
          = 228

2. Deret Aritmatika (Deret Hitung) 

Arti dari deret aritmatika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmatika adalah:

a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ {a + (n -1)b}

Jumlah n suku pertama deret aritmatika (S_n) dirumuskan sebagai:

S_n = n/2 (a + U_n ) atau S_n = n/2{2a + (n - 1)b}

Contoh Soal.

Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ....
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Barisan: 27, 24, 21, ....
Suku pertama (a) = 27
Beda (b) = 24 - 27 = -3

Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 27 + (20 - 1).(-3)
       = 27 + (19).(-3)
       = 27 - 57
       = -30

S_n = n/2 (a + U_n )
S₂₀ = 20/2 (a + U₂₀)
       = 10 (27 + (-30))
       = 10 (-3)
       = -30
Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah -30

3. Hubungan antara barisan (U_n) dan deret aritmatika (S_n)
Hubungan antara barisan (U_n) dan deret aritmatika (S_n) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.

U_n = S_n - S_n-1

4. Sisipan Barisan Aritmatika 

Misalkan U₁ , U₂ , U₃ , ..., U_n adalah barisan aritmatika dengan suku pertama _U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmatika yang baru, maka:

     Barisan semula : a, a+b, a+2b, ...

     Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + kb), a + (k + 1)b,...

Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:

1. Beda baru (b') =>  b' = b : (k + 1)

2. Banyaknya suku baru (n') => n' = n + (n - 1)k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (S_n ') => S_n ' = n'/2 x (a + U_n )

                                     

Sekian dulu postingan kali ini tentang barisan dan deret aritmatika (deret hitung), untuk lebih memahaminya, lihat kumpuilan contoh soal barisan dan deret aritmatika. Mudah-mudahan dapat dimengerti dan tentunya dapat memahaminya sehingga akan mempermudah kalian dalam menjawab contoh soal terkait barisan dan deret.

Ditulis zedukasi Pada April 27, 2021 Komentar