[Pembahasan] Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika

[Pembahasan] Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika

Aritmatika Barisan dan Deret Matematika

Omahjenius kali ini kan share tentang soal soal serta pembahasan cara menentukan rumus suku ke-n barisan dan deret aritmatika. Sebetulnya sama aja dengan penggunaan rumus barisan dan deret aritmatika, yang membedakan dari soal sebelumnya disini bagaimana kita menentukan kita mendapatkan angka angaka pada soal. Jawabannya bukan angka berikutnya atau yang dicari tapi menentukan rumus yang tepat. Untuk itu jangan lupa simak dan perhatikan setiap pembahasan yang diberikan. SEMANGATT !!!!

Contoh Soal dan Pembahasan Menentukan Rumus Suku ke-n
Soal 1
Suku ke-n dari barisan 5, 9, 13, 17, ......
A. n + 4
B. 4n + 1
C. 2n + 1
D. 2n² + 1
Pembahasan:
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Beda (b) = 9 - 5 = 4
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n

Penyelesaian:
Un = a + (n - 1)b
     = 5 + (n - 1)4
     = 5 + 4n - 4
     = 4n + 1
(Jawaban: B)

Soal 2 (UAN 2002)
Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama deret tersebut adalah .....
A. Sn = (n/2)(3n - 7)
B. Sn = (n/2)(3n - 5)
C. Sn = (n/2)(3n - 4)
D. Sn = (n/2)(3n - 3)
E. Sn = (n/2)(3n - 2)
Pembahasan:
Un = 3n - 5
Suku pertama (a):
a = U₁ = 3(1) - 5
   = 3 - 5
   = -2

Rumus jumlah n suku yang pertama (Sn):
Sn = (n/2)(a + Un)
Sn = (n/2)(-2 + (3n - 5))
Sn = (n/2)(3n - 7)
(Jawaban: A)

Soal 3
Suku keempat dan kesepuluh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 21 dan 51. Rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah .....
Pembahasan:
Diketahui:
Suku keempat (U₄) = 21
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n.

Penyelesaian:
Un = a + (n -1)b
Suku keempat (U₄) = 21
a + (4 - 1).b = 21
a + 3b = 21 ........(1)

Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
a + (10 - 1)b = 51
a + 9b = 51 .........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
a + 3b = 21
a + 9b = 51 -
    -6b = -30
       b = -30/-6
       b = 5
Subtitusi nilai b = 5 ke persamaan (1), diperoleh:
a + 3b = 21
a + 3(5) = 21
a +15 = 21
a = 21 - 15
a = 6

Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1)b
Un = 6 + (n - 1)5
Un = 6 + 5n - 5
Un = 5n + 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 5n + 1

Soal 4 (PROYEK PERINTIS 1983)
Jumlah n suku  yang pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n2(3n - 17). Rumus untuk suku ke-n deret ini adalah .....
A. 3n - 8
B. 3n - 10
C. 3n - 6
D. 3n - 4
E. 3n - 2
Pembahasan:
Sn = n/2(3n - 17)
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1/2)(3(1) - 17)
a = (1/2)(-14)
a = -7

Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = n2 (a + Un)
n2(3n - 17) = n2 (a + Un)
<=> 3n - 17 = a + Un
<=> a + Un = 3n - 17
<=> -7 + Un = 3n -17
<=> Un = 3n - 17 + 7
<=> Un = 3n - 10
(Jawaban: B)

Soal 5
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut adalah.....
Pembahasan:
Sn = n² + 3n
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1)² + 3(1)
a = 1 + 3
a = 4

Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = n2 (a + Un)
n² + 3n = n2 (a + Un)
<=> n(n + 3) = n2 (4 + Un)
<=> n + 3 = 12 (4 + Un)
<=> 2(n + 3) = 4 + Un
<=> 2n + 6 = 4 + Un
<=> 4 + Un = 2n + 6
<=> Un = 2n + 6 - 4
<=> Un = 2n + 2

Soal 6 (UAN 2002 IPA P4)
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmatika adalah 12 dan suku kesepuluh adalah -24. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn = .....
A. 18n - 3n²
B. 33n - 3n²
C. 27n - 3n²
D. 30n - 3n²
E. 66n - 3n²
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₇ = a + 6b

Suku ketiga + suku ketujuh = 12
(a + 2b) + (a + 6b) = 12
2a + 8b = 12
a + 4b = 6 .................(1)

Suku kesepuluh = -24
a + (10 - 1) = -24
a + 9b = -24 .............(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2),diperoleh:
a + 4b = 6
a + 9b = -24  -
-5b = 30
b = 30/-5
b = -6
Subtitusi nilai b = -6 ke persamaan (1)
a + 4b = 6
a + 4(-6) = 6
a - 24 = 6
a = 6 + 24
a = 30

Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = n/2(2a + (n - 1)b)
Sn = n/2(2(30) + (n - 1)(-6))
Sn = n/2(60 - 6n + 6)
Sn = n/2(66 - 6n)
Sn = n(33 - 3n)
Sn = 33n - 3n²
(Jawaban: B)

Soal 7 (UMPTN 1990)
Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan ......
A. n(n - 1)
B. n(n−1)2
C. n(n + 1)
D. n(n+1)2
E. n²
Pembahasan:
Bilangan bulat positif = 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Suku pertama (a) = 1
Beda tiap suku (b) = 1

Jumlah bilangan bulat positif pertama (Sn):
Sn = n2(2a + (n - 1)b)
Sn = n2(2.1 + (n - 1)1)
Sn = n2(2 + n - 1)
Sn = n2(n + 1)
Sn = n(n+1)2
(Jawaban: D)

Itu saja yang dapat saya tentang Contoh Soal Menentukan Rumus Suku Ke-n Baris & Deret Aritmatika dengan pembahasannya. Semoga dengan ini dapat membantu temen temen belajar. Semangatt!!!!!

Ditulis zedukasi Pada November 17, 2021 Komentar

Contoh Soal Cerita Baris dan Deret Aritmatika & Pembahasan

Contoh Soal Cerita Baris dan Deret Aritmatika & Pembahasan

Barisan dan Deret Matematika

Contoh Soal Baris dan Deret Aritmatika - Pada kesempatan ini omahjenius membahas mengenai soal cerita barisan dan deret aritmatika. Soal cerita merupakan salah satu soal yang membingungkan untuk siswa siswa, karena terkadang soal soal cerita dipahami secara berbeda setiap murid. Untuk itu pada kali ini kita akan bahas mengenai soal soal cerita baris dan deret aritmatika dengan pembahasannya. Soal dibawah ini kita dapatkan dari soal dari Ujian Nasional, Soal Ebtanas, dan lain-lain.

  

 

Contoh Soal Cerita dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika

Soal 1 (EBTANAS 2001 SMK)

Seorang petani kebun memetik apel setiap hari, dan mencatat banyaknya apel yang dipetik.  Ternyata diperoleh banyaknya apel yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah apel yang dipetik selama 10 hari pertama adalah .......
A. 1.950 buah
B. 2.000 buah
C. 1.875 buah
D. 1.900 buah
E. 1.825 buah

Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)
      = 5(375)
      = 1.875
Jadi, jumlah apel yang dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
(JAWABAN: C)

Soal 2 (UN 2014)

Seorang PNS menerima gaji untuk tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji PNS naik Rp500.000,00. Maka, jumlah uang yang diterima PNS tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp8.000.000,00
B. Rp7.500.000,00
C. Rp55.000.000,00
D. Rp52.500.000,00

Pembahasan:
Diketahui:
(a) Gaji awal = 3.000.000
(b) Kenaikan gaji = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji PNS selama 10 tahun (S₁₂).

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000

Jadi, Jumlah uang yang didapat PNS tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: D)

Soal 3 (UN 2014)

Sebatang kayu dipotong menjadi 5 bagian, sehingga menyerupa pola barisan aritmatika. Jika panjang kayu terpanjang 2,4 m dan terpendek 1,2 m, panjang kayu sebelum dipotong adalah ....
A. 8,0 m
B. 7,5 m
C. 8,2 m
D. 9,0 m
Pembahasan:
Diketahui:
Kayu terpendek = (a) = 1,2
Kayu terpanjang = (U₅) = 2,4
Ditanyakan:
Panjang kayu sebelum dipotong (S₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (a + Un)
S₅ = 5/2 (1,2 + 2,4)
S₅ = 5/2 (3,6)
S₅ = 5(1,8)
S₅ = 9,0
Jadi, panjang kayu sebelum dipotong adalah 9,0 meter.
(JAWABAN: D)

Soal 4 (UN 2014)

Dalam ruang rapat terdapat 15 baris kursi, baris pertama terdapat 23 kursi, baris berikutnya terdapat 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan rapat tersebut adalah ....
A. 555
B. 385
C. 1.110
D. 1.140
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak barisan kursi = (n) =15
Banyak kursi baris pertama = (a) = 23
Beda tiap baris kursi = (b) = 2
Ditanyakan:
Jumlah kursi (S₁₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)
S₁₅ = (15/2) (46 + 28)
S₁₅ = (15/2)(74)
S₁₅ = 15 . 37
S₁₅ = 555
Jadi, jumlah kursi dalam ruangan rapat tersebut sebanyak 555 kursi.
(JAWABAN: A)

Soal 5 (UN 2013)

Dalam gedung pentas seni disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris ke-2 berisi 16 buah, baris ke-3 18 buah dan setiap baris berikutnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....
A. 52 buah
B. 54 buah
C. 40 buah
D. 38 buah
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak kursi baris pertama = (U₁) = 14
Banyak kursi baris ke-2 = (U₂) =  16
Ditanyakan:
Banyaknya kursi pada baris ke-20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁
               = 16 - 14
               = 2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyak kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.
(JAWABAN: A)

Soal 6 (UMPTN 1998)

Laba seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika laba sampai bulan keempat Rp30.000, dan sampai bulan kedelapan Rp172.000, maka keuntungan pedagan sampai bulan ke-18 adalah .....
A. 1.017.000
B. 1.050.000
C. 1.100.000
D. 1.120.000
E. 1.137.000
Pembahasan:
Diketahui:
Keuntungan sampai bulan ke-4 = (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 = (S₈) = 172ribu rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18  = (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

Keuntungan sampai bulan keempat = (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)

Keuntungan sampai bulan kedelapan = (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000  -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000

Subtitusi nilai b = 7.000 ke persamaan (1) diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 3(7.000) = 15.000
2a + 21.000 = 15.000
2a = 15.000 - 21.000
2a = -6.000
a = -6.000/2
a = -3.000

Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈)
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₈ = 18/2 (2(-3.000) + (18 - 1).7000)
S₁₈ = 9(-6.000 + 119.000)
S₁₈ = 9(113.000)
S₁₈ = 1.017.000
Jadi, keuntungan sampai bulan ke-18 adalah 1.017.000,00
(JAWABAN: A)

Soal 7 (UAN 2003 SMK)

Produksi kapas menghasilkan 100 ton kapas pada bulan pertama, setiap bulannya menaikan produksinya secara tetap 5 ton. Jumlah kapas yang diproduksi selama setahun adalah  .....
A. 1.260 ton
B. 1.200 ton
C. 1.560 ton
D. 1.530 ton
E. 1.500 ton
Pembahasan:
Diketahui:
Produksi bulan pertama = (a) = 100 ton
Kenaikan produksi = (b) = 5 ton
Ditanyakan:
Jumlah produksi selama 1 tahun = 12 bulan (S₁₂)

Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₂ = 12/2 (2(100) + (12 - 1).5)
S₁₂ = 6(200 + 55)
S₁₂ = 6(255)
S₁₂ = 1.530

Jadi, Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah 1.530 ton.
(JAWABAN: D)

Itu saja mengenai contoh soal cerita beserta pembahasan barian deret Aritmatika. Jangan lupa siapkan terlebih sebelum ujian, karena jika kita persiapkan terlebih kita tidak perlu belajar H-1. Semoga membantu.

Ditulis zedukasi Pada November 15, 2021 Komentar

Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur) Kelas 11 Lengkap

Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur) Kelas 11 Lengkap

Barisan dan Deret Matematika Materi Matematika Kelas 11 SMA

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai barisan dan deret geometri kelas 11 dimana sebelumnya telah dibahas tentang barisan dan deret aritmetika beserta contoh soalnya. Kita awali dengan mengenal Apa itu barisan geometri?

 

Buat belum tahu bedanya barisan geometri dan deret geometri. Nah dalam barisan geometri urutan angka yang memiliki pola rasio, misal 4, 8, 16, 32, 64, .... Sedangkan dalam deret geometri, urutan angka yang memiliki pola rasio dengan urutan berupa operasi jumlahan, misal 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + .... Gampangnya barisan itu hanya sebuah urutan angka, dan deret itu jumlah dari barisan.

A. Pengertian Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan U₁ , U₂ , U₃ ,..., U_n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan "r". Jadi:

Jika suku pertama dinyatakan dengan "a", maka bentuk umum barisan geometri adalah

U₁  = a

U₂  = ar

U₃  = ar²

...

U_n  = ar^n-1 

Bentuk  U_n  = ar^n-1 merupakan bentuk umum barisan geometri.

B. Deret Geometri (Deret Ukur)

Arti dari deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku-suku barisan geometri secara berurutan. Sehingga bentuk umum rumus deret geometri adalah:

a + ar + ar² + ... + ar^n-1

Jumlah n suku pertama deret geometri (S_n ) dirumuskan sebagai:

C. Hubungan antara barisan (U_n ) dan deret geometri (S_n)

Hubungan antara barisan (U_n ) dan deret geometri (S_n) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.

U_n  = S_n  - S_n-1  

D. Sisipan Barisan Geometri

Misalkan diketahui barisan U₁ , U₂ , U₃ ,...,U_n . Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkan k buah suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:

1. Rasio baru (r')

2. Banyaknya suku baru (n')

n' = n + (n - 1)k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')

Sekian dulu postingan Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur) Kelas 11 kali ini, mudah-mudahan bisa dipahami sehingga mempermudah kalian menjawab soal terkait. Untuk memahami materi barisan dan deret, baca juga barisan dan deret aritmetika beserta contoh soalnya.

 

Ditulis zedukasi Pada May 03, 2021 Komentar

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Matematika Materi Matematika Kelas X Soal dan Pembahasan

Pada kesempatan ini, akan membahas "Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika (deret hitung)", termasuk sisipan barisan dan deret aritmatika. Untuk lebih memudahkan anda menyelesaikan soal-soal tentang barisan dan deret aritmetika, maka harus dipahami dulu apa itu barisan aritmatika dan rumus-rumus yang digunakan dalam menyelesaikan soal barisan aritmatika. Untuk materi dan rumus yang digunakan, bisa dilihat DI SINI >>

Soal ❶
Diketahui suatu barisan aritmetika:
-2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .
Tentukan suku ke-50
Pembahasan:
Dari soal diketahui: a = -2 dan b = 8 - 3 = 5
U_n = a + (n - 1)b
U₅₀ = -2 + (50 - 1).5
U₅₀ = -2 + (49).5
U₅₀ = -2 +  245
U₅₀ = 243

Soal ❷

Suku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah....

Pembahasan:
U₆ =   a + 5b = 24.000 
U₁₀ = a + 9b = 18.000 -
               -4b = 6.000
                  b = -1.500

a + 5b = 24.000
a = 24.000 - 5b
a = 24.000 - 5(-1.500)
a = 24.000 + 7.500
a = 31.500

Diketahui U_n = 0
⇔ a + (n - 1)b = 0
⇔ 31.500 + (n - 1).(-1.500) = 0
⇔ 31.500 - 1.500n + 1.500 = 0
⇔ 1.500n = 33.000
⇔ n = 22
Jadi, agar U_n = 0, maka nilai n = 22

Soal ❸

Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku pertama adalah...
Pembahasan:

U_n = a + 2b = 9 ......................................(1)
U₅ + U₇ = 36
⇔ (a + 4b) + (a + 6b) = 36
⇔ 2a + 10b = 36
⇔ a + 5b = 18......................................(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 2b = 9
a + 5b = 18 -
    -3b = -9
       b = -9/-3
       b = 3

Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
a + 2b = 9
a = 9 - 2b
a = 9 - 2.3
a = 3

S_n = n/2 {2a + (n - 1)b}
S₁₀ = 10/2 {2.3 + (10 - 1).3}
S₁₀ = 5 . (33)
S₁₀ = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 165

Soal ❹
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah......
Pembahasan:
Barisan aritmatika: 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131
Suku pertama, a = 5
beda, b = 8 - 5 = 3
Suku ke-n = 131
Suku tengah, Ut = 1/2(a + Un)
                            = 1/2 (5 + 131)
                            = 1/2 (136)
                            = 68

Soal ❺
Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah....
Pembahasan:
Barisan bilangan di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, 115,..., 295
Suku pertama (a) = 105, beda (b) = 5 dan Un = 295
Un = a + (n - 1)b
⇔ 295 = 105 + (n - 1).5
⇔ 295 = 105 + 5n - 5
⇔ 295 = 100 + 5n
⇔ 5n = 295 - 100
⇔ 5n = 195
⇔ n = 195/5 = 39

Sn = n/2 (a + Un)
S39 = 39/2 (105 + 295)
        = 39/2 (400)
        = 7.800
Jadi, jumlah semua bilangan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 7.800

Soal ❻

Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik.  Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah .....

Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U1 = 50 + 25(1) = 75
U10 = 50 + 25(10) = 300

Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (75 + 300)
       = 5(375)
       = 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah

Soal ❼

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semua terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah. . .

Pembahasan:
Deret hitung (deret aritmetika) = 20 + 116, berarti n = 2
Deret aritmetika setelah sisipan = 20 + . . . + 111, dengan k = 11 sisipan
Banyak suku baru, n' = n + (n - 1)k
n' = 2 + (1).11
n' = 13

S_n ' = n'/2 (a + U_n )
S_n ' = 13/2 (20 + 116)
S_n ' = 13/2 (136)
S_n ' = 884
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

Sekian dulu postingan kali ini, mudah-mudah Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika di atas dimengerti dan untuk lebih memahami tentang barisan dan deret aritmetika silahkan mencoba untuk menyelesaian bentuk soal yang lain.

Ditulis zedukasi Pada April 27, 2021 Komentar

MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

Aritmatika Barisan Barisan dan Deret Deter Matematika Materi Lengkap

Pada Kesempatan ini, akan membahas tentang "MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)". Barisan dan deret aritmatika biasa disebut juga dengan deret hitung. Apa itu barisan aritmatika?? Simak penjelasan berikut.

1. Barisan Aritmatika
Suatu barisan U₁ , U₂ , U₃ ,..., U_n disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi, b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = U_n - U_n-1 

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:

U₁  = a

U₂  = U₁ + b = a + b

U₃  = U₂ + b = a + 2b

U₄  = U₃ + b = a + 3b

...

U_n = U_n-1 + b = a + (n - 1)b

Bentuk U_n = a + (n - 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmatika.

Contoh Soal.
Diketahui suatu barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku ke 48
Pembahasan:
Barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
a. Suku pertama (a) = -7
b. Beda (b) =  U₂ - U₁
                   = -2 -(-7)
                   = -2 + 7
                   = 5
c. Suku ke 48
    Un = a + (n - 1)b
    U₄₈ = a + (48 - 1)b
          = -7 + (48 - 1).5
          = -7 + (47).5
          = -7 + 235
          = 228

2. Deret Aritmatika (Deret Hitung) 

Arti dari deret aritmatika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmatika adalah:

a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ {a + (n -1)b}

Jumlah n suku pertama deret aritmatika (S_n) dirumuskan sebagai:

S_n = n/2 (a + U_n ) atau S_n = n/2{2a + (n - 1)b}

Contoh Soal.

Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ....
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Barisan: 27, 24, 21, ....
Suku pertama (a) = 27
Beda (b) = 24 - 27 = -3

Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 27 + (20 - 1).(-3)
       = 27 + (19).(-3)
       = 27 - 57
       = -30

S_n = n/2 (a + U_n )
S₂₀ = 20/2 (a + U₂₀)
       = 10 (27 + (-30))
       = 10 (-3)
       = -30
Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah -30

3. Hubungan antara barisan (U_n) dan deret aritmatika (S_n)
Hubungan antara barisan (U_n) dan deret aritmatika (S_n) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.

U_n = S_n - S_n-1

4. Sisipan Barisan Aritmatika 

Misalkan U₁ , U₂ , U₃ , ..., U_n adalah barisan aritmatika dengan suku pertama _U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmatika yang baru, maka:

     Barisan semula : a, a+b, a+2b, ...

     Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + kb), a + (k + 1)b,...

Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:

1. Beda baru (b') =>  b' = b : (k + 1)

2. Banyaknya suku baru (n') => n' = n + (n - 1)k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (S_n ') => S_n ' = n'/2 x (a + U_n )

                                     

Sekian dulu postingan kali ini tentang barisan dan deret aritmatika (deret hitung), untuk lebih memahaminya, lihat kumpuilan contoh soal barisan dan deret aritmatika. Mudah-mudahan dapat dimengerti dan tentunya dapat memahaminya sehingga akan mempermudah kalian dalam menjawab contoh soal terkait barisan dan deret.

Ditulis zedukasi Pada April 27, 2021 Komentar